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Review of Linear Algebra

超快猛!线性代数入门

为什么要学呢?
图形学依赖于线代 当然还有其它很多东西
光学 力学 信号处理 数值分析等等
还有一点点美学

引例 蜗牛 从不同角度上看是不一样的

向量 Vectors
物理上更愿意叫矢量

注意:没有绝对的起始点

向量的长度为1的就是单位向量

向量求和:平行四边形法则和三角形法则

数学上就是直接坐标相加(笛卡尔坐标系描述)
永远是从原点开始
定义直角坐标使求长度变得简单

向量的乘法:点乘和叉乘

点乘:结果还是一个数
怎么用它?给定两个向量求夹角
特别是单位向量 只需要点乘就可以了

点乘基本的属性

代数:二维和三维的点乘形式

点乘在图形学的作用:
找到两个向量的夹角
找到一个向量投影到另一个向量的样子

投影:
b在a上的投影 一定是沿着a方向
能把投影表示成a的单位向量乘于某个数
也就是k 可得k=b的长度 乘于 a和b的夹角余弦
所以需要点乘的帮助

点乘在图形学中的应用:
把一个向量分解成两个向量(投影)
计算两个向量有多么接近:点积接近1和接近0能反映两个向量的接近程度
关于一个前与后的信息:大于0就是方向基本一致向前

向量的叉乘(叉积)
结果要和原本的两个向量都要垂直
例如c既要垂直于a 也要垂直于b
所以c一定不和ab在同一平面
右手螺旋定则:a旋转到b方向 c就是大拇指方向

向量的作用:
可以建立一个三维空间的直角坐标系
如果XxY得到的是z 就是一个右手坐标系

叉乘没有交换律
一个向量叉乘自己得到的是一个长度为0的向量(因为正弦为0)
是一个0向量 但不是一个数

代数上的叉乘
向量的叉乘可以表示成一个矩阵的形式

叉乘在图形学里的应用:
判定左和右/判定内与外

b在a的左侧还是右侧呢(以a方向上来看)z是正的就是左侧 z是负的就是右侧
p点是不是在三角形的内部呢?
abc三个点是逆时针排列的 可以先看ab叉乘ap 得到了ap在ab左侧的信息
以此类推bc和bp ca和cp 这三次都是同侧(左侧)的 所以得到了p在三角形内部的信息
假如变成了顺时针呢? 三次就都是右侧的话就可以判断是在内部了
所以说同侧即可判断 不需要考虑三角形三条边向量顺时针还是逆时针
如果得到的结果是0 那么在里面还是在外面 都是自己说了算的

矩阵:
就是一堆数被塞在了一个平面上 排列成几行几列的结构

矩阵的乘积:
新的矩阵每个元素是什么呢?
几行几列 就去找第几行和第几列

矩阵乘积的性质:没有交换律!
结合率和分配律还是成立的

矩阵乘积的作用

矩阵的其他操作:转置
乘积的转置有个特殊性质

单位矩阵 其实是一个对角矩阵(对角线上全为1 除此全为0)
还有逆矩阵的概念

向量的点乘和叉乘都可以写成矩阵的形式

定义移动的相机 就需要变换 也就是下次要讲的内容

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