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Transformation

复习:
向量:定义 基本操作 点乘 叉乘
提到了一点矩阵的计算

为什么要学习变换?
模型变换 视图变换
三维变成二维(投影)

二维变换

缩放变换


写成矩阵形式

不均匀的缩放

翻转


切变
竖直上是没有任何变化的 对任何点都一样 纵坐标不发生变化
所以y’ = y
水平方向上呢x’ = x+ay


旋转变换(二维)
任何时候我们说旋转 都是绕原点旋转的
不说旋转方向的话 默认是逆时针方向

如何得出?先找特殊点 例如四个角

共同点:线性变换


重要概念:齐次坐标
引:平移变换


问题:这样的式子还能写成矩阵的形式吗? 答案是no
所以平移不再是线性变换 但我不希望当作特殊情况来考虑


我们试图寻找一个方法来概括这些变换
所以引入了齐次坐标的概念
对于一个二维的点和向量 我们都增加一个维度
点和向量要区别对待 向量具有平移不变性 0就是为了保护这一性质

为什么是1和0更深层次的讨论


所以点加上点 在齐次坐标的表示下 是两个点的中点

仿射变换


代价 引入了一个额外的数字
二维的仿射最后一行都是001

逆变换
变换回原本的形状 在数学上对应的是乘于变换的逆矩阵


变换的组合
复杂的变换可以由一系列简单变换得到
变换的顺序是非常重要的

 

谁先执行 那就先乘谁 也就是从右到左来应用

概念的推广 一个3X3的矩阵经过多次变化仍然是3X3


有合成就有分解

3d的变换推广
就要用四个数来描述三维空间的点和向量

三维的仿射变换

问:先线性变换再平移 还是先平移再线性变换呢?
答:先线性变换再平移 和二维是一样的

 

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